同學(xué)們，你相信嗎？一個學(xué)習(xí)方法的掌握，讓中等水平的學(xué)生都會解難題、競賽題、奧數(shù)題，而且就在很短的時(shí)間里。再說，競賽題能解，書上還有難題嗎？

顧名思義，難題分解,當(dāng)然是把難解的題分解。分解成容易的題， 基本概念題，一步頭的題，一眼就看出來的題，人人都能做出來的題， 這應(yīng)該是學(xué)習(xí)方法的重大突破。

下面我們通過實(shí)例，讓每位讀者相信這是真的，沒有什么了不起， 讓每位同學(xué)都能學(xué)會，掌握。最后分析該方法的奧秘、理論根據(jù)、實(shí)踐結(jié)果，優(yōu)缺點(diǎn)。

一個真實(shí)的例子

               2014 年 10 月，沈陽市黃山路一個課后補(bǔ)習(xí)班上，十幾個學(xué)生正在進(jìn)行入學(xué)測試，他們大多來自北陵中學(xué)。一個老師拿出奧數(shù)競賽題集，翻到應(yīng)用題部分，第 24 題，讓學(xué)生看，學(xué)生看過后，茫然不知所措的說：“我數(shù)學(xué)平均也就是 70 分，容易的題能做，難題不行，這奧數(shù)可比書上的難題還要難幾倍。每次比賽，全班只有一個學(xué)生有資格參加，那是 100 分的學(xué)生，我們連想都不敢想?，F(xiàn)在我們做不了， 我們還是走吧，不學(xué)了。

      老師說：“稍等一會再走，你能讀題嗎？”學(xué)生說：“讀當(dāng)然行”，接著開始讀。讀了第一句，老師說：“停，想想，想到什么記下來”，學(xué)生記下第一個分析結(jié)果，老師又說：“再讀”，第二句讀完，老師又說“停，自己想”，學(xué)生又把想到結(jié)論記下來，接著第三句又重復(fù)這個過程，然后讀第四句，又重復(fù)上面過程。老師說：“往下看”，學(xué)生一看，題目要求的答案已經(jīng)作出了。

      學(xué)生立即瞪大了眼睛：“怎么回事？我做出來了。”他又把書拿過來，看了又看，這真是奧數(shù)題集，我也能做奧數(shù)題，前后不過幾分鐘。另一個班，一個叫劉 XX 的女生，是光明中學(xué)優(yōu)秀生，只是過去都在 90 分左右轉(zhuǎn)，用新學(xué)習(xí)方法，三節(jié)課后就在100 分左右轉(zhuǎn)。

      XX 中學(xué)校長也帶了學(xué)生來試驗(yàn)，完全成功。房地產(chǎn)老板李 XX 也帶著孩子來試驗(yàn)，用新方法，幾分鐘，當(dāng)場就把過去不會做的題做出來了。

芝加哥希林大學(xué)的數(shù)字老師 wendy 說:奧數(shù)題難就難在繞，繞了好幾個彎子，學(xué)生就糊涂了，你把幾個彎子分解了，成了幾段直線， 解決了繞灣子，挺好。

       二是這個方法對中等生、低等生也管用，這可是個大好事。當(dāng)然， 對尖子生更有用

這里有什么決竅嗎？怎么普及？

         要說一點(diǎn)技巧沒有，也不對，但是揭開之后，肯定不難，想想看， 中等水平學(xué)生幾分鐘就行，能有多難？

好，我們也不想賣關(guān)子，現(xiàn)在就一齊揭秘。

       從學(xué)習(xí)方法上講，也就是大家都知道的，‘一步一步分析法’。過去，大家都知道，這種方法很有用，但是誰也不敢保證，它肯定能解出來任何難題，競賽題，更沒有把握解奧數(shù)題。對這種方法的研究， 僅僅停留在初始階段，一般深度，解決的問題很有限，作用有限。

        今天同樣的方法，我們都讓中等水平的學(xué)生解書上難題，競賽題，一些奧數(shù)題，而且當(dāng)場試，幾分鐘見效果?？隙ㄅc過去的 ‘一步一步分析法’有區(qū)別，顯然這里面還有一點(diǎn)奧秘，那就是，它增加了一些具體方法，細(xì)節(jié)方法，方法的延伸，就是這個延伸部分，卻產(chǎn)生了神奇的效果。目前，用這種方法，奧數(shù)題集已解紹很多if，少數(shù)高難度題可能還要加強(qiáng)訓(xùn)練，但也有望解決，至于書上的題，還沒出現(xiàn)困難?？梢哉f，該方法成了解難題的關(guān)鍵。

下面通過錄像講解一遍（附文字說明）

(如果是成人讀者，對小學(xué)分?jǐn)?shù)除法概念記不清，請花 2 分鐘溫習(xí)一下，以便完全體會這種方法的神奇作用：一包蘋果的1 /2是 5 公個斤，這包蘋果有多重？你可能 5 秒鐘算出來，10 公斤，那么請寫出算式，稍微停 10 秒，你可以寫出：5÷ 1/2 =10 公斤；好，請問：一包蘋果的1/5 是5 ㎏，（Kg：公斤）這包蘋果有多重？你會說 25 ㎏，你應(yīng)該可以寫出：5÷1/5=25㎏。好，再來一句鞏固一下：一包蘋果的2/5是 5 ㎏，這包蘋果有多重？請寫出算式，口算有點(diǎn)難，但是還是能寫出：5÷2/5=5×5/2=12.5 ㎏)

下面同學(xué)們請看題：請開始，看著手表什計(jì)算時(shí)間

小紅用三天看完一本書，第一天看完了全書的1/3，第二天看了余下的2/5，已知第二天比第三天少看 24 頁，這本書共有多少頁？

學(xué)生一看完，似乎有點(diǎn)想法，但又有點(diǎn)糊涂，畢竟是平均 70 分的學(xué)生， 呆呆的不知從那下手。

老師說：“讀”，學(xué)生讀完一句，老師說：“停，把想到的寫下來。”學(xué)生寫了“三天讀一本書”，老師說“再讀”，學(xué)生讀第二句，老師說 “停，看看能想出什么，把所有能想到的都記下來”，學(xué)生寫：第一天1/3，又想想，又寫下：剩下二天讀的（1-1/3=2/3）是2/3，老師說“再讀一句”，“再想”，學(xué)生讀了第三句“第二天看余下的2/5",思考一下，我已經(jīng)找到余下是2/3, 第二天讀的，當(dāng)然是剩下兩天2/3的2/5，寫上2/3×2/5=4/15，學(xué)生正要往下讀，老師阻止了他，“不急，再想想”

學(xué)生想想：第一天讀1/3，第二日4/15，當(dāng)然可以知道第三天的，寫下：第三天可以求了，1-1/3-4/15=2/5，這也不難；老師說“不急，還可以想想嗎？還會想出什么？”，學(xué)生看看，說：“每天讀的都有了，沒有了，沒有什么了，還有什么，無非第三天2/5大，第一天1/3小，第二天4/15，好象更小，還有什么？無非每倆天可以相加，相減，有必要想這么多嗎？”學(xué)生說“想不出來什么”，老師說“好，想到每兩天可以相加，相減，很好，恐怕你沒有想到，這個很簡單的想法，非常容易的想法，似乎多余的想法，卻是競賽題的關(guān)鍵，請?jiān)僮x一句。” 當(dāng)學(xué)生讀到：“第二天比第三天少看 24 頁”，老師說：別急，讀到第二天比第三天少看……，停一停，不要讀完，想想，’。學(xué)生只能又一次讀到：“第二天比第三天少看……,”學(xué)生又說：我已知第三天2/5，第二天4/15， “那么第二天比第三天少看……，”兩個數(shù)相減 2/5-4/15=2/15，這是兩天讀的差占全體比例，老師說“現(xiàn)在，讀完這一句。”當(dāng)學(xué)生讀到：‘第二天比第三天少看 24 頁”時(shí)，很興奮，我剛剛已經(jīng)求出來這兩天的差 （占整體的比例）那么用 24頁一除就行了。那么總數(shù)就有了，24÷2/15=180 老師說：“讀。”當(dāng)學(xué)生看最后一句時(shí)， 高興的笑了：我已經(jīng)做出來了。老師問：幾分鐘？學(xué)生回答：3 分 45 秒。

學(xué)生趕緊把教科書拿來，翻到封面，仔細(xì)看看，真是奧數(shù)題集， 老師問他，“我講沒講數(shù)學(xué)定理？數(shù)學(xué)概念？”“沒有”，“教你做題嗎？” “沒有”，是啊，就是“停、想想、”，這幾個與數(shù)學(xué)不沾邊的三個字，誰都會說；這個“停,想想、”三歲小孩也會說，整個過程就是簡單的加減乘除，就是有個分?jǐn)?shù)除法比較難，也不難，也是一步頭的問題。已經(jīng)做過很多分?jǐn)?shù)除法練習(xí)了，死記硬背都知道了， 可是……可是用簡單的加減乘除，居然作出奧數(shù)題，真是不可思議， 這個方法太容易，是不是從今以后，我能做難題、奧數(shù)題了？而且只用 3 分 45 秒！我是優(yōu)秀生了？

旁邊的學(xué)生也都說：“這有什么了不起，我也會了，我也能做奧數(shù)題了，我會了，會了，沒有什么了不起。”

老師又提醒了一下：“且慢，不要驕傲，你入門了，總體方法有了，能解一批難題，視乎比過去聰明了，但是，還有一個‘但是’，還有一些細(xì)節(jié)、具體方法，你們沒有完全掌握，再說，沒有鍛煉，不熟練， 要知道有時(shí)候細(xì)節(jié)也決定勝負(fù)。還要再練幾周。”

現(xiàn)在看下一道題 （請看手表）

某工程隊(duì)修一段路，第一天修了全長的1/5多 100 米，第二天修的比第一天的4/5多 20 米，第三天修 600 米，正好修完，這段公路全長是多少？

學(xué)生們看完題，又是一片茫然，剛才的狂勁消失了，只有兩個85 分的學(xué)生開始一步一步分析、畫圖。當(dāng)她們讀了第二句:“第一天修了全長的1/5多 100 米”，畫出了

又寫出 1-1/5=4/5（大弧線是全長的4/5，包括 100 米）但是第三句看完，久久下不了筆，說“老師，按你的辦法也不行”。

老師笑笑：“首先你倆邁出重要的一步，知道一點(diǎn)一點(diǎn)分析，良好的開端，已經(jīng)成功了一半，不過一點(diǎn)一點(diǎn)分析法，沒有用準(zhǔn)確。如果用準(zhǔn)確，一定會成功。還有一點(diǎn)細(xì)節(jié)方法，方法的延伸，只要再多學(xué)習(xí)一點(diǎn)，可能會多解一大批題。”

“好，大家一齊來，還是老辦法，讀第一、二句，記下所想的。”大家讀了兩句，寫出：第一天1/5，外加 100 米，1-1/5=4/5，但是在圖中，100米是包含在4/5里面的。大家也都用圖畫出了

少數(shù)同學(xué)停一會，才把1/5剩下的4/5標(biāo)出來。

老師：“繼續(xù)讀”，學(xué)生：“第二天比第一天的4/5多——”，老師趕緊插話：“停住”，“不許往下讀”，“想想”。于是大家分析：第一天的4/5，第一天是1/5與 100 米，兩個數(shù)f的4/5，又是比例，又是 100米，怎么辦？一個學(xué)生說：第一天1/5的4/5好求，1/5×4/5=4/25，可是還有個100 米，它不是總數(shù)的比例，怎么辦，這 100 米的4/5, 突然幾個學(xué)生都說 100 米的4/5是 80 米，即 100 米×4/5=80 米，那么第一天1/5的4/5，就是1/5×4/5, 加 100 米×4/5=80 米。

“好”，老師說：“這里也就是把第一天的1/5和 100 米分開，一個一個解決，一個一個相乘，又是一個難題分解。”

“關(guān)鍵已經(jīng)有了，把第一天的1/5與第一天的 100 米分開分析，飯要一口一口的吃，已知條件必須一個一個分析，特別是難題，千萬不能把幾個條件放在一起分析，奧數(shù)難就難在這里，如果一齊讀完第三句，第三句有兩個條件，4/5, 還有 20 米，與前面一句兩個條件相結(jié)合，就是四個條件，放在一起，可以分析出非常多的結(jié)果，比較多的數(shù)據(jù)同時(shí)出現(xiàn)，一般同學(xué)就悶了，腦子就亂了，如果只讀半句，只讀一個條件，就開始分析，結(jié)合前面的已知條件分析，就容易得多，把第三句的半句中條件4/5當(dāng)成一道題，結(jié)合前面的條件，認(rèn)真分析，比較輕松；而且第一次只結(jié)合前一句的一個條件1/5分析，很容易，下一步，再把4/5結(jié)合第一天的100 米一起分析，還是簡單的乘法；恰如一個重?fù)?dān)，一個人挑不動，分兩次，就容易了，這就是一個具體方法，方法的細(xì)節(jié)。’這就是難題分解， 把高難度的奧數(shù)題分解成簡單的加減乘除。分解成普通學(xué)生都能解的題?？梢钥闯觯浆F(xiàn)在為止，分解以后，都是簡單的，一步就看出來的基本題。

“好，總結(jié)一下，這次你們就是‘按條件分析’，一點(diǎn)一點(diǎn)，先把第二句1/5與 100 米分開，同時(shí)把第三句的兩個條件分開，4/5和2O米分開，先求1/5的4/5，可求，然后 100 米的4/5也可求，這里必須一點(diǎn)一點(diǎn)分析，千萬不能一句一句分析；因?yàn)橐痪淅镉袃蓚€條件，第二句又有兩個條件，四個條件一齊想是不可以的，不叫分解了，又叫大雜燴了。

好，記下來，現(xiàn)在可以看第三句的下半句了”下半句是“,,,,,,,4/5多20 米，現(xiàn)在不必考慮4/5了，只要求多2O米數(shù)就行了，看如下圖：

一一l

前面已經(jīng)得出的結(jié)果 100×4/5=80 米，比 80 米多 20米是 100 米，又是一個 100 米，”老師說：“畫上去”，”現(xiàn)在可以看下面一句’：‘第三天修 600 米’，也畫上去”，看完第四句，也畫上，看圖想一想。

略停 10 秒，大多數(shù)同學(xué)都看出來了：1-1/5-4/25 所占全體的比例，就是 600+100+100 所占全體的比例，題目都明白了，當(dāng)然也就做出來了。（600+100+100）÷（1-1/5-4/15）是總數(shù)。

這段時(shí)間是 6 分 40 秒，包括老師講解、學(xué)生做題。

這一次，學(xué)生們不敢說什么都會了，只是問：還有什么細(xì)節(jié)方法

嗎？看來，虛心、好學(xué)的習(xí)慣開始形成了。

理論

一．我們可以看到的是，分解法可以一句一句分解，也可以一個條件一個條件分解，這是細(xì)節(jié)，重要的細(xì)節(jié)。

為什么每一步要寫下來？是，必須寫，許多條件、有用的分析結(jié)果，在腦子里有個停留的過程，一秒不行，至少必須三秒，寫下來需要三秒，如果在腦子里只停留一秒，容易忘記，等分析到了第三句，第四句，就記不清前面的分析潔結(jié)果了，如果忘記前面分析出來的任何一個結(jié)果，就可能解不出來。這是多次失敗總結(jié)的教訓(xùn)。

二．“再想一下”這句話看來沒什么，有人說‘我一次就想到了幾個結(jié)果，用不著再想一下，實(shí)際上，90% 的學(xué)生需要再想，多數(shù)同學(xué)不能一步看出所有結(jié)果， 90 %的學(xué)生少了這個 再想幾秒鐘，該分析的沒有全部分析出來， 就做不出來，就是好學(xué)生，有時(shí)也會少分析出一個結(jié)果，也是做不出來。”，所以細(xì)節(jié)也決定成敗。要知道，解決占 90  %的中等水平學(xué)生，讓他們成為優(yōu)秀生，是多么重要，這是一個艱巨的任務(wù)，也是一個無比光榮的任務(wù)，僅僅只解決少數(shù)尖子生，意義不算大。

下面我們從理論上分析一下，這種方法的可靠性，可行性，可能的結(jié)果，還有多次的教訓(xùn)，以引起重視，達(dá)到效果，這樣才可以徹底得到理論上的解決，將使你解決大量問題。

檢驗(yàn)一個理論的完整，一個方法的可靠，也要看它是否解決多少問題。

首先我們要解的題都在課本的學(xué)習(xí)內(nèi)容里，考大學(xué)不會考博士生學(xué)的定理，不可能超出中學(xué)課本這個范圍。奧數(shù)也只能在這個范圍里。書上定義、定律、公式會了，容易做的基本題應(yīng)該會了，這時(shí)，如果學(xué)會難題分解，所有的難題都能分解成為容易做的簡單題，那么各種題應(yīng)該都能做，應(yīng)該有這條路。

再者，所有要解的題目范圍只能是: 學(xué)習(xí)過的定義、定理、公式的不同組合或者排列，這些定理、公式、定義（排列，組合的元素）、都在中學(xué)課本已知的定義、定理、公式里，超出去不可能的。

想把復(fù)雜的題——不同定義、定理、公式的排列組合，分解成它們原來的組成元素，肯定是可以的，必定有路的。分解之后就直接用定義定理解，它必定可以分解成一步頭的、簡單的題，基本概念題。只要上課聽懂了的，中等水平甚至 60 分的，能做書上例題的，都可以做難題。

二、還是那個例子，一個人挑 200 斤不行，一般人都不行，如果把 200 斤分成 5 份，那么幾乎每個人都能挑動一份，40 斤，只要掌握了分解的方法，人人都能解難題。一道題分解成5個簡單題，這就是方法。

三、那位希林學(xué)院的老師看的很準(zhǔn)，他說奧數(shù)題就是繞，繞了好幾個彎子，學(xué)生不可能一步解出來，一眼看出來。

這個圖從起點(diǎn)到終點(diǎn)，中間拐了六個彎子，不容易一眼就看到終點(diǎn)，一步看到結(jié)果， 但是，如果把六個彎子分解成六段直線，每段直線都是一眼能看出結(jié)果的題，都是直接用現(xiàn)成定理解的題，變成簡單的四則運(yùn)算，于是可解也。

四、正推為主，有人說倒背如流水平最高。我們不訪試一下，倒背一個句子: 把‘某工程隊(duì)修一段路’，倒過來：路段一修隊(duì)程工某，你背背看？比順背慢幾倍？5 分鐘以后還能記得嗎？如果倒背一篇

文章，一天行嗎?一天也不行，背完就全忘了，就沒有頭緒了，比順著背難很多。

所以順著推導(dǎo)，運(yùn)算是輕松的，一步一步推出的結(jié)論，符合開始上課學(xué)習(xí)定理的過程，如果從結(jié)論倒推就累的多，做題也是，從一個個已知條件去分析，比較快；逆推有時(shí)可以用，但是盡量多用順推， 符合學(xué)習(xí)的過程，比較容易。‘難題分解’著重順著推導(dǎo)，大大減少難度。看題不要匆匆忙忙看完，一道題 3—5 個已知條件，每個條件又能分析出來幾個結(jié)果，那么 3—5 個已知條件，就能得出十幾個結(jié)果，這么多元素，同時(shí)堆在腦子里，好亂，難免丟掉 1—2 個，漏了一個結(jié)果就可能做不出來。

我們的難題分解，一個一個分析，就輕松的多，每一個條件都當(dāng)成一道題，特別是第四個條件、第五個條件，一個條件必須當(dāng)成一道題，認(rèn)真分析，結(jié)合前面的每一個條件，結(jié)合前面的每一個結(jié)果，就可以把難題化解成容易的、簡單題。如同剝洋蔥，每剝一層，才能看到下一層，每分析一個條件，再能看到下一步道路。

如果把每一個已知條件都做為一道題，認(rèn)真分析，記下結(jié)果，每次也就只分析出 2—4 個結(jié)果，不會漏掉，腦子不亂；再把結(jié)果放在一起，一對一對分析，所有結(jié)論都漏不掉，就容易解題；再說，分解以后，都是很容易的四則運(yùn)算，每一步分析也就幾秒鐘。我們上面的分

如果怕考試時(shí)間不夠，匆匆忙忙一氣看完題，結(jié)果從最后一句求解去分析，成了逆推，增加了難度?？焖倏赐觐}，短時(shí)間內(nèi)，腦子里同時(shí)出現(xiàn)幾個己知條件 十幾個分析結(jié)果，那必然很亂，不可能清晰，失敗的可能性很大。

疑難問題解答

每一步分析，可能有的結(jié)果用不著，但是不會漏，看來多用了十幾秒，然而解一般難題，每一步十秒，一道題兩分鐘就是足可以解了。用過去的老式分析方法，也一定會分析出很多多余的結(jié)果，不比我們的方法省時(shí)間。通過多次實(shí)驗(yàn)，我們這種方法，解題速度不但不慢，反而很快，一般節(jié)省1/3 — 1/2 的時(shí)間?？荚嚳偸亲钤缱鐾辍?/span>

五、但是如果按過去的分析方法，匆匆忙忙看題，不小心漏掉一個分析結(jié)果，可能 10 分鐘也做不出來。這才是真正耽誤時(shí)間的地方， 所以不要擔(dān)心一步一步分析會浪費(fèi)時(shí)間，會分析多余的結(jié)果。實(shí)際上，每一步分析就是 5-10 秒，一道題 2-3 分鐘就做出來了。

再說，沒有做出來之前，無法判定那步分析是多余的。按過去的方法，一樣必定會分析出一些多余的結(jié)果，這是解題過程必然發(fā)生的。當(dāng)然一般性難題、不是很難的題，可以簡單分析，對于奧數(shù)題、簡單分析是不行的，只有細(xì)細(xì)分析。順利做出來，反而是最快的。

配套方法

與本方法配套的分支方法還有幾個，它們可以保證難題分解方法的實(shí)施。更重要的是，它們大大加快解題速度。

1、基本定理不懂，公式記不清，理解不深，怎么辦？我們提供一套方法，叫‘融入數(shù)學(xué)體系法’，讓你快速的記憶， 牢固的、準(zhǔn)確的記憶。而且比較省時(shí)間。

2、粗心大意，似乎不是老師的責(zé)任，任何一步粗心，肯定得不了高分，解題過程中粗心，是解不下去的主要原因之一。

但是許多責(zé)任心強(qiáng)的老師會主動提出辦法，幫助學(xué)生解決粗心， 我們針對各種粗心大意，提出解決的系統(tǒng)方法，包括一個個具體方法， 徹底解決粗心大意。定義為‘消除緊張法’，數(shù)據(jù)證明，我們這套方法，學(xué)生基本上不再粗心大意了。每次考試能增加 10—20 分。

3、預(yù)習(xí)，也就是自學(xué)，目前只有少數(shù)學(xué)生可以，老師提倡，但是多數(shù)學(xué)生做不到，或者匆匆預(yù)習(xí)，太膚淺，沒達(dá)到要求。如何普及到每一個學(xué)生。讓每個學(xué)生都會自學(xué)，包括讀書的速度，預(yù)習(xí)的程序， 檢查的標(biāo)準(zhǔn)，又是一套方法。

對不起，一篇文章太長了，我們下次再聊，我們將發(fā)表系列文章， 和大家一起探討學(xué)習(xí)方法，歡迎同學(xué)們，老師們，朋友們來信，再見。

劉元澄先生

【作者簡介】劉元澄，1945年5月25號出生，美籍華人，美國華爾街報(bào)記者兼辦公室主任。安徽同鄉(xiāng)會主席。

責(zé)任編輯：孫克攀